Sur une forme faible de la conjecture de Greenberg II

For a totally real number field which is abelian over Q, in which an odd prime p is totally split, and which verifies certain rather mild conditions on the cohomology of the circular units, we show that a weak form of Greenberg's conjecture for p holds true. This fills a gap - pointed out by Rene Schoof - in a previous proof (see [Sur la conjecture faible de Greenberg dans le cas abelien p-decompose Int. J. Number Theory 2(1) ( 2006) 49-64]), and also extends the original result (semi-simplicity is no longer required). Pour un corps de nombres abelien totalement reel, completement decompose en un nombre premier impair p, et verifiant certaines conditions pas tres contraignantes sur la cohomologie des unites circulaires, on montre qu'une forme faible de la conjecture de Greenberg en p est verifiee. On comble ainsi une lacune - signalee par Rene Schoof - dans une demonstration precedente (voir [Sur la conjecture faible de Greenberg dans le cas abelien p-decompose, Int. J. Number Theory 2(1) (2006) 49-64]), en m (e) over cap me temps qu'on etend le resultat originel (la semi-simplicite n'est plus exigee).